今回は固体物理で出てくる「消滅測」の計算をしていきたいと思います。
その中でも特に体心立方格子の消滅測
$$
h+k+l = 2n+1 （h,k,lは面指数、nは整数）
$$
と面心立方格子の消滅測
$$
h+k=2n+1 or\\
k+l=2n+1 or\\
l+h=2n+1
$$
を解説していきたいと思います。
消滅測
結晶構造因子
消滅測は結晶構造因子
$$
F(hkl) = \sum_{i}f_i\exp(-2\pi i(hx+ky+lz))\tag{1}
$$
から導かれます。
このとき\(f_i\)は\(i\)番目の原子の原子散乱因子です。
これは原子の電子密度の分布を表しています。つまりその原子にどれだけ電子が詰まっているかを表しています。
また、\(x,y,z\)は\(i\)番目の原子の座標を表しています。
消滅測を考えるときは、この結晶構造因子が０のとき
$$
F(hkl) = 0
$$
の面指数\(hkl\)がどうなればよいかを考えます。
体心立方格子の消滅測
では体心立方格子の消滅測を導いてみましょう。
まず、体心立方格子の原子がどこに配置しているかを確認します。
原子の座標は
$$
(0,0,0),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\tag{2}
$$
となっています。（四隅と真ん中にあるので、この二つだけ考えればよいことになります。）
これらを(1)式に代入します。
すると
$$
\begin{eqnarray}
F(hkl)&=& f_1\exp(-2\pi i(0+0+0)) + f_2\exp\left(-2\pi i\left(h\frac{1}{2}+k\frac{1}{2}+l\frac{1}{2}\right)\right) \\
&=&f_1 + f_2\exp(-\pi i(h+k+l))
\end{eqnarray}
$$
今回は同じ元素の原子を考えるので\(f_1 = f_2 = f\)とします。
よって
$$
F(hkl) = f(1 +\exp(-\pi i(h+k+l)))
$$
となります。
このとき\(h+k+l\)はどのような値なら\(F(hkl) = 0\)になるでしょうか？
これは簡単で
$$
h+k+l = 2n+1\tag{3}
$$
すなわち奇数ならば、
$$
F(hkl) = f(1 + \underbrace{(-1)}_{e^{-i\pi(2n+1)}}) = 0
$$
となりますね。
よって(3)式が消滅測となります。
面心立方格子の消滅測
面心立方格子の消滅測も同様に求めることができます。
面心立方格子の原子の配置は
$$
(0,0,0), \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right), \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right), \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
$$
なので、これを(1)式に代入すると
$$
\begin{eqnarray}
F(hkl)&=& f_1\exp(-2\pi i(0+0+0)) + f_2\exp\left(-2\pi i\left(h\frac{1}{2}+k\frac{1}{2}+0\right)\right)+ f_3\exp\left(-2\pi i\left(h\frac{1}{2}+0+l\frac{1}{2}\right)\right) + f_4\exp\left(-2\pi i\left(0+k\frac{1}{2}+l\frac{1}{2}\right)\right) \\
&=& f(1 + \exp(-\pi i(h+k) + \exp(-\pi i(h+l) + \exp(-\pi i(k+l) ))
\end{eqnarray}\tag{4}
$$
となります。（ここでも同じ元素の原子を扱っているので\(f_1=f_2=f_3=f_4=f\)としました。）
ここから、
$$
h+k = 2n+1\tag{5}
$$
という条件を考えてみましょう。
(4)式に代入すると
$$
\begin{eqnarray}
F(hkl) &=& f(1 +(-1) + \exp(-\pi i(2n+1-k+l) + \exp(-\pi i(k+l) )\\
&=& f(\exp(-\pi i l)(\exp(-\pi i(2n+1 -k))+\exp(\pi ik)))\\
&=& f( \exp(-\pi i l)(-\exp(-\pi ik)+\exp(\pi ik)) )\\
&=& 0
\end{eqnarray}
$$
ということが分かります。
ここで一行目では(5)式を変形して
$$
h=2n+1-k
$$
をhに代入しました。
同様にして
$$
k+l=2n+1\\
l+h=2n+1
$$
のときも
$$
F(hkl) = 0
$$
が成り立っています。
よって面心立方格子の消滅測は
$$
h+k=2n+1 or\\
k+l=2n+1 or\\
l+h=2n+1
$$
となります。
