こんにちは
今回は「電磁ポテンシャル」について解説していきたいと思います。
電磁ポテンシャルとは
$${\bf B} = \nabla \times {\bf A}$$
$${\bf E} = -\nabla \phi – \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}$$
を満たす\({\bf A},{\bf \phi}\)のことで、なぜこのようなややこしいものが必要かというと
「マクスウェル方程式を簡単に解くため」
というのが（一応の）結論になると思います。
ではさっそく解説していきましょう。
電磁ポテンシャル
なぜ\({\bf A,\phi}\)を考えなくてはいけないか
電磁ポテンシャルを考えるモチベーションとしては次のようなものになると考えます。
- マクスウェル方程式から\({\bf E,B}\)を求めたい！
- だけど「式が多い」(6変数の連立偏微分方程式)
- 電磁ポテンシャルを仮定することで変数が6個→4個に減る！（少し簡単になる）
- しかも電磁ポテンシャルから\({\bf E,B}\)を決めればいい！
一つづつ解説していきましょう。
マクスウェル方程式から\({\bf E,B}\)を求めたい
マクスウェル方程式は電磁気をやる方なら誰でも一度は目にしたことのある方程式であり、これらの方程式を解くことで電場\({\bf E}\)、磁場\({\bf B}\)を求めることができます。
羅列してみると以下のようになります。
$$
\nabla \cdot {\bf B} = 0\\
\nabla \cdot {\bf E} = \rho\\
\nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf j} + \epsilon_0 \mu_0\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\\
\nabla \times {\bf E} = \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
$$
となります。
これらから\({\bf E,B}\)が決まります。
変数・式が多い
…がしかしこれらの式を冷静に眺めてみるとわかる通り
電場の変数が3つ（\(E_x,E_y,E_z\)）さらに磁場の変数も3つ（\(B_x,B_y,B_z\)）合計6つとなっています。
さらにこれらは連立偏微分方程式になっています。
これらを解こうと思ったらそれはもう大変なことが分かると思います。
電磁ポテンシャルを仮定することで変数が6個→4個に減る
そこで出てくるのが「電磁ポテンシャル」です。
電磁ポテンシャルはベクトルポテンシャル\({\bf A}\),スカラーポテンシャル\(\phi\)の総称であり、これらは
$$
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}\\
{\bf E} = -\nabla \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
$$
で定義されます。
この操作によって
電場の変数が3つ（\(E_x,E_y,E_z\)）磁場の変数が3つ（\(B_x,B_y,B_z\)）の合計6つあった変数の数がベクトルポテンシャル\({\bf A}=(A_x,A_y,A_z)\)とスカラーポテンシャル\(\phi\)の合計4つでかけることになります。
マクスウェル方程式を\({\bf E,B}\)の代わりに\({\bf A},\phi\)で表すことで、求めないといけない変数が（6→4に）減ったのです。
さらにうれしいことに連立方程式の数も減っています。
具体的には
$$
\nabla \cdot {\bf B} = 0\\
\nabla \cdot {\bf E} = \rho\\
\nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf j} + \epsilon_0 \mu_0\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\\
\nabla \times {\bf E} = \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
$$
と\({\bf E,B}\)で表すと4つあったマクスウェル方程式は\({\bf A},\phi\)で表すと
$$
\nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) = 0\\
-\nabla \cdot \nabla \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot{\bf A} = \rho\\
\nabla \times (\nabla \times {\bf A})= \mu_0 {\bf j} – \epsilon_0 \mu_0\nabla \frac{\partial \phi }{\partial t} – \epsilon_0^2\mu_0^2 \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}\\
\nabla \times (\nabla \phi ) =0
$$
となりますが、一番最初の式と一番最後の式はどんな\({\bf A},\phi\)を代入しても成り立つので、これらの式から\({\bf A},\phi\)を求めることができません。（つまり、この二つの式は必要ない）
実際に\({\bf A},\phi\)の値を決める式は二番目と三番目の式
$$
-\nabla \cdot \nabla \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot{\bf A} = \rho\\
\nabla \times (\nabla \times {\bf A})= \mu_0 {\bf j} – \epsilon_0 \mu_0\nabla \frac{\partial \phi }{\partial t} – \epsilon_0^2\mu_0^2 \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}\\
$$
のみになります。
よって、これらのことからマクスウェル方程式を4つから2つに減らすことができました！
電磁ポテンシャルから\({\bf E,B}\)を決めればいい
これらの二つの式から\({\bf A},\phi\)の値を決定することができれば、
$$
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}\\
{\bf E} = -\nabla \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
$$
から逆算して\({\bf E,B}\)も決定することができます！すばらしい！
まとめ
初めは変数6個、4つの連立方程式だったのが、電磁ポテンシャルを用いることで変数4つ連立方程式2つの（比較的）簡単な式に置き換えることができました。
しかしながら、この二つの方程式
$$
-\nabla \cdot \nabla \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot{\bf A} = \rho\\
\nabla \times (\nabla \times {\bf A})= \mu_0 {\bf j} – \epsilon_0 \mu_0\nabla \frac{\partial \phi }{\partial t} – \epsilon_0^2\mu_0^2 \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}\\
$$
なんだか…汚い感じがしますね。
なのでここから「ローレンツ条件」という条件を課すことで\({\bf A},\phi\)を解きやすくすることができます。
参考
今回はこちらを参考にさせていただきました。
コメント
[…] なぜこのようなややこしい条件を導入するのかというと、これを使うことで前回求めた「マクスウェル方程式を電磁ポテンシャルで表した式」 […]