今回は電子合成スピンとクレプシュ-ゴルダン係数について解説していきたいと思います。
前に「【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~」で、角運動量の合成について触れました。
このことを踏まえて、今度は具体的に電子合成スピンを考えてみましょう。
電子合成スピン
電子合成スピンの大きさ
二つの電子スピン\(j_1, j_2\)の大きさは共に\(\frac{1}{2}\)です。
これらを合成し、合成スピン\(j\)の取りうる大きさを求めます。
「【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~」でもふれたように\(j\)は
$$
\begin{cases}
上限:j_1 +j_2\\
下限:|j_1 – j_2|
\end{cases}
$$
なので、 合成スピン\(j\) の大きさは
$$
\begin{eqnarray}
j &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{2},\left|\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\right|\\
&=& 1,0
\end{eqnarray}\tag{1}
$$
の2通りとなります。(これ以外の値は上限や下限を超えてしまう。)
直積状態
では直積状態を求めます。
「【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~」 から、
$$
\begin{cases}
m_1 = -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\
m_2 =-\frac{1}{2},\frac{1}{2}
\end{cases}
$$
となります。よって、直積状態 \(|j_1m_1\rangle\otimes |j_2m_2\rangle\) は
$$
\left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2, \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2, \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2, \left |\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2\tag{2}
$$
の4つとなります。
(ここで、\(|j_1m_1\rangle\otimes |j_2m_2\rangle\)を\( |m_1\rangle_1|m_2\rangle_2 \)と略記した。添え字は電子の番号)
合成状態
次に直積状態から合成状態を求めていきます。
合成状態の数
合成状態は直積状態に対応する数だけ存在します。(今回は4つ)
すると、以下4つの合成状態 \(|j_1j_2jm\rangle\) が考えられます。
$$
|11\rangle, |10\rangle, |1-1\rangle, \underbrace{|00\rangle}_{スピンの大きさjが0なので\\z軸方向のスピンmも0 しかない}
$$
(ここで、合成状態\(|j_1j_2jm\rangle\)を\(|jm\rangle\)と略記する。)
直積状態と合成状態の一致
\(z\)軸方向のスピンが最大のとき、直積状態と合成状態は一致するので
$$
|11\rangle = \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 \tag{3}
$$
が成り立ちます。
下降演算子を作用させる
ここで(3)式の左辺と右辺に下降演算子\({\hat j_-}\)を作用させます。すると
$$
\begin{cases}
左辺={\hat j_-}|11\rangle=\sqrt{2}|10\rangle\\
右辺={\hat j_-} \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 = \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
\end{cases}\tag{4}
$$
となります。
(下降演算子についてはこちらを参照)
(4)式から、
$$
|10\rangle = \frac{ \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}}
\tag{5}
$$
となります。
さらに(5)式に下降演算子を作用させると
$$
\begin{cases}
左辺={\hat j_-}|10\rangle=\sqrt{2}|1-1\rangle\\
右辺={\hat j_-} \frac{ \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
\end{cases}\tag{6}
$$
となります。
(6)式から、
$$
|1-1\rangle = \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
$$
となります。
\(|00\rangle\)を求める
ここまでで、3つの合成状態が求まりました。
しかし、あと一つ\(|00\rangle\)は下降演算子を作用させて求めることはできません。
よって、
$$
|00\rangle = c_1 \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + c_2\left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
$$
として、直交条件から\(c_1,c_2\)を決めます。
直交条件
直交条件から、
$$
\langle 10 | 00 \rangle = 0\\
\langle 00 | 00 \rangle = 1
$$
となるので、\( c_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}},c_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \)となります。
よって、
$$
|00\rangle = \frac{ -\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}}
$$
となります。
クレプシュ-ゴルダン係数
導出した合成状態の結果をまとめると
$$
\begin{cases}
|11\rangle = \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2\\
|10\rangle = \frac{ \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}} \\
|1-1\rangle = \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 \\
|00\rangle = \frac{ -\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}}
\end{cases}
$$
となります。
…計算めんどくさい!!
しかし、合成状態が必要なときに、いちいち今回のような計算していくのは面倒ですよね。
直積状態と合成状態には
$$
|j_1j_2jm\rangle = C|j_1m_1j_2m_2\rangle
$$
という関係があります。このときの係数\(C\)を「クレプシュ-ゴルダン係数」と呼びます。これを求めていきます。
クレプシュ-ゴルダン係数
それぞれの\(m_1,m_2\)について
$$
C_{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}^{11} = \left\langle \frac{1}{2}\frac{1}{2}|11\right\rangle = 1\\
C_{\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}^{10} = \left\langle \frac{-1}{2}\frac{1}{2}|10\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
C_{\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}^{10} = \left\langle \frac{1}{2}\frac{-1}{2}|10\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
C_{\frac{-1}{2}\frac{-1}{2}}^{1-1} = \left\langle \frac{-1}{2}\frac{-1}{2}|1-1\right\rangle = 1\\
C_{\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}^{00} = \left\langle \frac{1}{2}\frac{-1}{2}|00\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
C_{\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}^{00} = \left\langle \frac{-1}{2}\frac{1}{2}|00\right\rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
$$
となります。
これで簡単に直積状態を合成状態に変換することができます!!
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