【量子力学】電子合成スピンとクレプシュ-ゴルダン係数

今回は電子合成スピンとクレプシュ-ゴルダン係数について解説していきたいと思います。

前に「【量子力学】角運動量の合成～直積状態と合成状態～」で、角運動量の合成について触れました。

このことを踏まえて、今度は具体的に電子合成スピンを考えてみましょう。

電子合成スピン

電子合成スピンの大きさ

二つの電子スピン\(j_1, j_2\)の大きさは共に\(\frac{1}{2}\)です。

これらを合成し、合成スピン\(j\)の取りうる大きさを求めます。

「【量子力学】角運動量の合成～直積状態と合成状態～」でもふれたように\(j\)は

$$
\begin{cases}
上限：j_1 +j_2\\
下限：|j_1 – j_2|
\end{cases}
$$

なので、 合成スピン\(j\) の大きさは

$$
\begin{eqnarray}
j &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{2},\left|\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\right|\\
&=& 1,0
\end{eqnarray}\tag{1}
$$

の2通りとなります。（これ以外の値は上限や下限を超えてしまう。）

直積状態

では直積状態を求めます。

「【量子力学】角運動量の合成～直積状態と合成状態～」 から、

$$
\begin{cases}
m_1 = -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\
m_2 =-\frac{1}{2},\frac{1}{2}
\end{cases}
$$

となります。よって、直積状態 \(|j_1m_1\rangle\otimes |j_2m_2\rangle\) は

$$
\left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2,　\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2,　\left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2,　\left |\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2\tag{2}
$$

の4つとなります。

（ここで、\(|j_1m_1\rangle\otimes |j_2m_2\rangle\)を\( |m_1\rangle_1|m_2\rangle_2 \)と略記した。添え字は電子の番号）

合成状態

次に直積状態から合成状態を求めていきます。

合成状態の数

合成状態は直積状態に対応する数だけ存在します。（今回は4つ）

すると、以下4つの合成状態 \(|j_1j_2jm\rangle\) が考えられます。

$$
|11\rangle, 　|10\rangle,　|1-1\rangle,　\underbrace{|00\rangle}_{スピンの大きさjが0なので\\z軸方向のスピンmも0 しかない}
$$

（ここで、合成状態\(|j_1j_2jm\rangle\)を\(|jm\rangle\)と略記する。）

直積状態と合成状態の一致

\(z\)軸方向のスピンが最大のとき、直積状態と合成状態は一致するので

$$
|11\rangle = \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 \tag{3}
$$

が成り立ちます。

下降演算子を作用させる

ここで(3)式の左辺と右辺に下降演算子\({\hat j_-}\)を作用させます。すると

$$
\begin{cases}
左辺={\hat j_-}|11\rangle=\sqrt{2}|10\rangle\\
右辺={\hat j_-} \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 = \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
\end{cases}\tag{4}
$$

となります。

（下降演算子についてはこちらを参照）

(4)式から、

$$
|10\rangle = \frac{ \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}}
\tag{5}
$$

となります。

さらに(5)式に下降演算子を作用させると

$$
\begin{cases}
左辺={\hat j_-}|10\rangle=\sqrt{2}|1-1\rangle\\
右辺={\hat j_-} \frac{ \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
\end{cases}\tag{6}
$$

となります。

(6)式から、

$$
|1-1\rangle = \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
$$

となります。

\(|00\rangle\)を求める

ここまでで、3つの合成状態が求まりました。

しかし、あと一つ\(|00\rangle\)は下降演算子を作用させて求めることはできません。

よって、

$$
|00\rangle = c_1 \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + c_2\left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2
$$

として、直交条件から\(c_1,c_2\)を決めます。

直交条件

直交条件から、

$$
\langle 10 | 00 \rangle = 0\\
\langle 00 | 00 \rangle = 1
$$

となるので、\( c_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}},c_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \)となります。

よって、

$$
|00\rangle = \frac{ -\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}}
$$

となります。

クレプシュ-ゴルダン係数

導出した合成状態の結果をまとめると

$$
\begin{cases}
|11\rangle = \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2\\
|10\rangle = \frac{ \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}} \\
|1-1\rangle = \left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 \\
|00\rangle = \frac{ -\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{1}{2}\right\rangle_2 + \left|\frac{1}{2}\right\rangle_1\left|\frac{-1}{2}\right\rangle_2 }{\sqrt{2}}
\end{cases}
$$

となります。

…計算めんどくさい！！

しかし、合成状態が必要なときに、いちいち今回のような計算していくのは面倒ですよね。

直積状態と合成状態には

$$
|j_1j_2jm\rangle = C|j_1m_1j_2m_2\rangle
$$

という関係があります。このときの係数\(C\)を「クレプシュ-ゴルダン係数」と呼びます。これを求めていきます。

クレプシュ-ゴルダン係数

それぞれの\(m_1,m_2\)について

$$
C_{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}^{11} = \left\langle \frac{1}{2}\frac{1}{2}|11\right\rangle = 1\\
C_{\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}^{10} = \left\langle \frac{-1}{2}\frac{1}{2}|10\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
C_{\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}^{10} = \left\langle \frac{1}{2}\frac{-1}{2}|10\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
C_{\frac{-1}{2}\frac{-1}{2}}^{1-1} = \left\langle \frac{-1}{2}\frac{-1}{2}|1-1\right\rangle = 1\\
C_{\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}^{00} = \left\langle \frac{1}{2}\frac{-1}{2}|00\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
C_{\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}^{00} = \left\langle \frac{-1}{2}\frac{1}{2}|00\right\rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
$$

となります。

これで簡単に直積状態を合成状態に変換することができます！！

参考

３つ，４つのスピン1/2粒子の合成 [物理のかぎしっぽ]

hooktail.sub.jp