【電磁気】導体内部の電磁波の挙動から表皮長を求めてみた！

今回は「導体内部」の電磁波について解説していきたいと思います。

真空中の電磁波の挙動は、割と親しみ（？）があるかと思いますが今回はさらに進んで、その電磁波が導体の内部にまで入り込んだ場合を考えていきたいと思います。

最終的には表皮長（電磁波の振幅が\(\frac{1}{e}\)になる侵入距離）

$$
\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}}
$$

を導出していきたいと思います。

導体内部の電磁波の挙動

導体内部のマクスウェル方程式

この導体の電気伝導度を\(\sigma\)、透磁率を\(\mu\)、誘電率を\(\epsilon\)とします。

このとき、導体に流れる電流の密度\(\bf i\)はオームの法則より

$$
\bf i = \sigma E\tag{1}
$$

となります。

次に、このときの導体内部でのマクスウェル方程式を考えてみると(1)式から

$$
\begin{eqnarray}
\nabla \times {\bf B} &=& \mu \left({\bf i} + \epsilon\frac{ \partial {\bf E}}{ \partial t}\right)\\
&=& \mu \left( \sigma {\bf E} + \epsilon\frac{ \partial {\bf E}}{ \partial t}\right)
\end{eqnarray}\tag{2}
$$

となります。

導体内部の波動方程式

導体内部の電荷\(\rho\)は0とするとマクスウェル方程式

$$
\nabla \cdot \bf E = 0\tag{3}
$$

となります。また、電磁誘導のマクスウェル方程式

$$
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial{\bf B}}{ \partial t}\tag{4}
$$

も成り立ちます。

これらから、電磁場の波動方程式を導きます。

(4)式に回転を作用させると

$$
\begin{eqnarray}
\nabla \times (\nabla \times {\bf E}) &=& -\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\nabla \times B}_{(2)式}\\
\nabla (\underbrace{\nabla \cdot {\bf E}}_{(3)式}) – \Delta {\bf E}&=& -\frac{ \partial }{ \partial t} \left\{\mu \left( \sigma {\bf E} + \epsilon\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}\right) \right\}\\
\left(\Delta – \epsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \bf E&=& \sigma \mu \frac{\partial}{\partial t}E\tag{5}
\end{eqnarray}
$$

となります。これが導体内における電磁波の波動方程式になります。

平面波

ここで、電磁波の形を平面波

$$
{\bf E} = {\bf E_0}e^{i(kz – \omega t)}\tag{6}
$$

とします。これを(5)式の波動方程式に代入すると

$$
\left(\Delta – \epsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) {\bf E_0}e^{i(kz – \omega t)} = \sigma \mu \frac{\partial}{\partial t} {\bf E_0}e^{i(kz – \omega t)}\\
k^2 = \epsilon \mu \omega^2 + i\mu\sigma \omega\tag{7}
$$

となります。

このとき

$$
\frac{\sigma}{\omega \epsilon} \gg 1\tag{8}
$$

より、(7)式は

$$
\begin{eqnarray}
k^2 &=& i\mu\sigma \omega \left(1- i\frac{\omega \epsilon} {\sigma} \right)\\
&\sim& i\mu\sigma \omega \tag{9}
\end{eqnarray}
$$

となります。

表皮長

(9)式より

$$
\begin{eqnarray}
k &=& \sqrt{ i\mu\sigma \omega }\\
&=& \sqrt{ e^{i\frac{\pi}{2}}\mu\sigma \omega } \\
&=& e^{i\frac{\pi}{4}} \sqrt{\mu\sigma \omega } \\
&=& \left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \sqrt{\mu\sigma \omega } \\
&=& \underbrace{\frac{\sqrt{2\mu\sigma \omega }}{2}}_{k_r} + i\underbrace{ \frac{\sqrt{2\mu\sigma \omega }}{2}}_{\kappa}\\
&=& k_r + i\kappa\tag{10}
\end{eqnarray}
$$

さらに(10)式を(6)式に代入すると

$$
\begin{eqnarray}
{\bf E} &=& {\bf E_0}e^{i(kz – \omega t)}\\
&=& {\bf E_0}e^{i\{(k_r + i\kappa)z – \omega t\}}\\
&=& {\bf E_0}e^{-\kappa z}e^{i(k_r z – \omega t)} \tag{11}
\end{eqnarray}
$$

(11)式より、電磁波の振幅が\(\frac{1}{e}\)倍になる位置は

$$
\begin{eqnarray}
z = \delta &=& \frac{1}{\kappa}\\
&=& \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma \omega }}\tag{12}
\end{eqnarray}
$$

これが表皮長となります。

参考

表皮効果と導体への電磁波の入射

電磁波は、導体の表面までしか侵入できない。この現象を表皮効果と呼ぶ。この記事では、マクスウェル方程式より表皮の厚さを求める。

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