今回は熱浴に浸かった交流回路のエネルギーを求めていきたいと思います。
調和振動子の固有エネルギー準位から類推して値を求めていきます。
略図
以下のように交流回路が熱浴と接して温度が一定に保たれている系を考える。
回路の平均エネルギー
調和振動子のハミルトニアン
この回路のエネルギーの平均値を求めていきます。
そのためにまずは一次元の調和振動子のハミルトニアンを考えてみましょう。
この場合、ハミルトニアンは力学的エネルギーに等しいので
$$ H = \frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}kx^2\tag{1} $$
となります。
このとき固有エネルギー準位\(E_n\)は
$$ E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\sqrt{\frac{k}{m}}\tag{2} $$
となります。
回路のエネルギー
話を回路に戻します。
回路の全エネルギーは
$$ E = \frac{LI^2}{2}+\frac{q^2}{2C}\tag{3} $$
と書けます。
また、電流\(I\)は
$$ I = \frac{dq}{dt}\tag{4} $$
の関係があるので(4)式を(3)式へ代入すると
$$ E = \frac{L}{2}\left(\frac{dq}{dt}\right)^2+\frac{q^2}{2C}\tag{5} $$
となります。
対応関係
これを(1)式と比べると
それぞれ \begin{eqnarray} \begin{cases} m\to L\\ x \to q\\ k \to \frac{1}{C} \end{cases} \end{eqnarray}
に対応していることが分かります。
よってこの対応関係を(2)式にも当てはめると
$$ E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\sqrt{\frac{1}{LC}}\tag{6} $$
となり、固有エネルギーが求まります。
分配関数
次に分配関数を導きます。
分配関数は固有エネルギーを使って
$$ Z(T) = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{E_n}{k_BT}}\tag{7} $$
と書くことができます。
$$ \sqrt{\frac{1}{LC}} = \omega_0 $$ と置いて
(7)式に(6)式を代入すると
$$ \begin{eqnarray} Z(T) &=& \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_0}{k_BT}}\\ &=& e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2k_BT}}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{n\hbar\omega_0}{k_BT}}\tag{8} \end{eqnarray} $$
ここで
$$ \sum_{n=0}^{\infty}r^n = \frac{1}{1-r} $$
を使って(8)式を展開すると
$$ \begin{eqnarray} Z(T) &=& e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2k_BT}}\frac{1}{1-e^{-\frac{\hbar\omega_0}{k_BT}}}\\ &=& \frac{1}{e^{\frac{\hbar\omega_0}{2k_BT}}-e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2k_BT}}}\tag{9} \end{eqnarray} $$
となります。
エネルギーの平均値
では最後にこの分配関数を使ってこの回路のエネルギーの平均値を求めていきたいと思います。
エネルギーの平均値は $$ \langle E\rangle=-\frac{1}{Z}\frac{dZ}{d\beta}\;\;\;(ただし\beta = \frac{1}{k_BT})\tag{10} $$
となるので(9)式に(10)式を当てはめていくと
$$ \begin{eqnarray} \langle E\rangle &=& -\frac{1}{Z}\frac{d}{d\beta}\left(e^{\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}-e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}\right)^{-1}\\ &=& \frac{1}{Z}\left(e^{\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}-e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}\right)^{-2}\left[\frac{\hbar\omega_0}{2}\left(e^{\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}+e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}\right)\right] \\ &=& \frac{\hbar\omega_0}{2}\frac{e^{\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}+e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}}{e^{\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}-e^{-\frac{\hbar\omega_0}{2}\beta}}\\ \end{eqnarray} $$
ここで $$ \coth N = \frac{e^N+e^{-N}}{e^N-e^{-N}} $$ より、
$$ \langle E\rangle = \frac{\hbar\omega_0}{2}\coth\left(\frac{\hbar\omega_0}{2k_BT}\right) $$
となります。
