今回は「同時固有状態」について解説したいと思います。
これは二つの演算子が同時にとる同じ固有状態のことです。
物理的な意味としては、「演算子に対応する物理量が同時に観測できる」ということを表しています。
これはよく不確定性原理からできないとされることですが、二つの演算子\(\hat f\) と \(\hat g\) が可換のとき、同時対角化可能（同時固有状態が得られる）となっています。
これは逆も言うことができ、同時対角化可能のときは\(\hat f\)と\(\hat g\)は可換です。
長々と話しましたが、要約すると
$$
\hat f と \hat g が可換 \Leftrightarrow \hat f と \hat g は同時対角化可能
$$
これを証明していきたいと思います。
同時固有状態
「\(\hat f\) と \(\hat g\) が可換 \(\Rightarrow\) 同時対角化可能 」の証明
では証明していきたいと思います。
\(\hat f\)の固有状態を\(\psi_n\),固有値を\(f_n\)とすると
$$
\hat f \psi_n = f_n \psi_n\tag{1}
$$
が成り立ちます。固有方程式ですね。
ではつぎに(1)式の左側から\(\hat g\)をかけます。
すると
\begin{eqnarray}
\hat g \hat f \psi_n &=& \hat g f_n \psi_n\\
&=& f_n \hat g \psi_n (f_n は固有値なので\hat gと作用しない)\tag{2}
\end{eqnarray}
今、\(\hat f,\hat g\)は可換、つまり
$$
[\hat f , \hat g] = \hat f \hat g – \hat g \hat f = 0
$$
を考えているので
$$
\hat g \hat f = \hat f \hat g\tag{3}
$$
が成り立ちます。
(3)を(2)に代入して
$$
\hat f \underbrace{\hat g \psi_n}_{\psi} = f_n\underbrace{\hat g \psi_n}_{\psi} \tag{4}
$$
となります。
さらに(4)式は
$$
\hat g \psi_n = \psi
$$
とすると
$$
\hat f \psi = f_n \psi \tag{5}
$$
と書くことができます。
これは\(\psi\)が\(\hat f\)の固有状態であることを示していますね。
縮退していないとき
\(\hat f\)の固有値\(f_n\)が縮退していないとき、 固有状態が「独立」ではなく「従属」の状態になっているので
$$
( \hat g \psi_n =)\psi = C\psi_n (Cは定数)\tag{6}
$$
と書けます。
実際、(6)式を(5)式に代入すると(1)式が出てきます。
(6)式から
$$
\hat g \psi_n = C\psi_n
$$
となり、 \(\psi_n\) は\(\hat g\)の固有状態であることも分かりました。
もともと\(\psi_n\)は\(\hat f\)の固有状態として用意したものなので\(\psi_n\)は\(\hat f,\hat g\)の共有の固有状態であることが分かりました。（同時固有状態）
これで「\(\hat f\) と \(\hat g\) が可換 \(\Rightarrow\) 同時対角化可能」が証明できました。
同時対角化可能のときは\(\hat f\)と\(\hat g\)は可換
今度は逆を証明していきます。
同時対角化可能のとき
\begin{cases}
\hat f \psi_n = f\psi_n\\
\hat g \psi_n = g\psi_n
\end{cases}
となります。
ここで突然ですが
$$
\hat f \hat g \psi_n
$$
$$
\hat g \hat f \psi_n
$$
を考えます。
これらを計算していくと
$$
\hat f \hat g \psi_n = \hat f g\psi_n = g\hat f \psi_n = gf\psi_n
$$
$$
\hat g \hat f \psi_n = \hat g f\psi_n = f\hat g \psi_n = fg\psi_n
$$
となり、
$$
\hat f \hat g \psi_n = \hat g \hat f \psi_n \tag{7}
$$
が分かります。
(7)式は
$$
\hat f \hat g \psi = \hat g \hat f \psi (\psi = \sum C_n\psi_n)
$$
でも成り立ちます。（試しに代入してみると実際に成り立っています。）
よって任意の\(\psi\)で成り立つので
$$
\hat f \hat g = \hat g \hat f
$$
が成り立ち、これは可換であることを示しています。
これで「同時対角化可能のときは\(\hat f\)と\(\hat g\)は可換 」の証明ができました。
