【物理数学】拡散方程式をフーリエ変換で解いてみた！！

こんにちは

今回は「拡散方程式をフーリエ変換で解く」ということをやっていきたいと思います。

拡散方程式は

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa\frac{\partial u^2}{\partial x^2}
$$

と書かれ、この偏微分方程式は「フーリエ変換」を使って解くことができます。

結果だけ先に書くと、（初期条件として$u(x,0)=\delta (x)$を課したとき）

$$
u(x,t) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi \kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}
$$

となります。

それではさっそくやっていきましょう。

拡散方程式をフーリエ変換で解く
参考

拡散方程式をフーリエ変換で解く

解いていく流れとしては

$u$のフーリエ逆変換を拡散方程式にぶち込む
${\hat u}$の方程式を解く
初期条件＆逆変換から任意定数を決める
ガウス積分で$u$を求める

とやっていきます。

$u$のフーリエ逆変換を方程式に代入

まず、$u$のフーリエ逆変換

$$
u = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat u} e^{ikx} dk
$$

を拡散方程式

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa\frac{\partial u^2}{\partial x^2}
$$

に代入します。すると

$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial {\hat u}}{\partial t} e^{ikx} dk = \frac{\kappa}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat u} (ik)^2e^{ikx} dk
$$

となるので、被積分関数を比較すると

$$
\frac{\partial {\hat u}}{\partial t} = -\kappa k^2 {\hat u}
$$

となります。

${\hat u}$の方程式を解く

次にこの式を解きます。

$$
\frac{\partial {\hat u}}{\partial t} = -\kappa k^2 {\hat u}
$$

これを変数分離で解くと

$$
{\hat u} = Ae^{-\kappa k^2 t}　(Aは任意定数)
$$

となります。

初期条件&逆変換から任意定数を決める

では次に任意定数$A$を初期条件

$$
u(x,0)=\delta (x)
$$

のもとで解いていきます。

${\hat u} = Ae^{-\kappa k^2 t}$の逆変換を考えると

$$
u = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\underbrace{Ae^{-\kappa k^2 t}}_{{\hat u}} e^{ikx} dk
$$

となります。

$t=0$のとき、

$$
u(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}A e^{ikx} dk
$$

となり、これを逆変換すると

$$
\begin{eqnarray}
A &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,0) e^{-ikx} dk\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x) e^{-ikx} dk\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{eqnarray}
$$

となり、元の式に代入すると

$$
u = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa k^2 t} e^{ikx} dk
$$

と計算できます。

ガウス積分で$u$を求める

ガウス積分

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
$$

を使い$u = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa k^2 t} e^{ikx} dk$を積分すると

$$
\begin{eqnarray}
u &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa k^2 t} e^{ikx} dk\\
&=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa t(k – i\frac{x}{2\kappa t})^2 -\frac{x^2}{4\kappa t}} dk　(平方完成した)\\
&=&\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa t(k – i\frac{x}{2\kappa t})^2 } dk}_{ガウス積分}\\
&=& \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{\kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}\\
&=& \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi \kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}
\end{eqnarray}
$$

となり、解を求めることができました！！