こんにちは
今回は「拡散方程式をフーリエ変換で解く」ということをやっていきたいと思います。
拡散方程式は
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa\frac{\partial u^2}{\partial x^2}
$$
と書かれ、この偏微分方程式は「フーリエ変換」を使って解くことができます。
結果だけ先に書くと、(初期条件として\(u(x,0)=\delta (x)\)を課したとき)
$$
u(x,t) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi \kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}
$$
となります。
それではさっそくやっていきましょう。
拡散方程式をフーリエ変換で解く
解いていく流れとしては
- \(u\)のフーリエ逆変換を拡散方程式にぶち込む
- \({\hat u}\)の方程式を解く
- 初期条件&逆変換から任意定数を決める
- ガウス積分で\(u\)を求める
とやっていきます。
\(u\)のフーリエ逆変換を方程式に代入
まず、\(u\)のフーリエ逆変換
$$
u = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat u} e^{ikx} dk
$$
を拡散方程式
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa\frac{\partial u^2}{\partial x^2}
$$
に代入します。すると
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial {\hat u}}{\partial t} e^{ikx} dk = \frac{\kappa}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat u} (ik)^2e^{ikx} dk
$$
となるので、被積分関数を比較すると
$$
\frac{\partial {\hat u}}{\partial t} = -\kappa k^2 {\hat u}
$$
となります。
\({\hat u}\)の方程式を解く
次にこの式を解きます。
$$
\frac{\partial {\hat u}}{\partial t} = -\kappa k^2 {\hat u}
$$
これを変数分離で解くと
$$
{\hat u} = Ae^{-\kappa k^2 t} (Aは任意定数)
$$
となります。
初期条件&逆変換から任意定数を決める
では次に任意定数\(A\)を初期条件
$$
u(x,0)=\delta (x)
$$
のもとで解いていきます。
\({\hat u} = Ae^{-\kappa k^2 t}\)の逆変換を考えると
$$
u = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\underbrace{Ae^{-\kappa k^2 t}}_{{\hat u}} e^{ikx} dk
$$
となります。
\(t=0\)のとき、
$$
u(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}A e^{ikx} dk
$$
となり、これを逆変換すると
$$
\begin{eqnarray}
A &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,0) e^{-ikx} dk\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x) e^{-ikx} dk\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{eqnarray}
$$
となり、元の式に代入すると
$$
u = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa k^2 t} e^{ikx} dk
$$
と計算できます。
ガウス積分で\(u\)を求める
ガウス積分
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
$$
を使い\(u = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa k^2 t} e^{ikx} dk\)を積分すると
$$
\begin{eqnarray}
u &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa k^2 t} e^{ikx} dk\\
&=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa t(k – i\frac{x}{2\kappa t})^2 -\frac{x^2}{4\kappa t}} dk (平方完成した)\\
&=&\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa t(k – i\frac{x}{2\kappa t})^2 } dk}_{ガウス積分}\\
&=& \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{\kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}\\
&=& \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi \kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}}
\end{eqnarray}
$$
となり、解を求めることができました!!
参考
https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/kisoIII/2007/chap6.pdf