今回は「誘電体の内部で生じる電場」について解説したいと思います。
誘電体の中では一様に分極しているので、ガウスの法則（のようなもの）を使うことで一様な電場のときと同じように計算することができます。
誘電体の内部で生じる電場
強さ\({\bf P}\)で一様に分極した誘電体に半径\(a\)の球体の穴をあけたとき、その中央部の電場を求めます。
分極電荷
例えば上図の黄色い部分に生じる分極電荷の面密度\(\sigma\)、面積\(dS\)を使って、分極\(P\)は
$$
\int {\bf P \cdot dS} = \sigma dS\tag{1}
$$
と書けます。
補足
これはちょうど電束密度\(D\)と真電荷の面密度\(\sigma’\)の関係
$$
\int {\bf D \cdot dS} = \sigma’ dS
$$と同じです。
(1)から、黄色い部分の角度を\(\theta\)とすると
$$
\int {\bf P \cdot dS} = P\cos\theta dS = \sigma dS
$$
$$
P\cos\theta = \sigma\tag{2}
$$
となります。
中心部の電場を求める
中心部の電場\(E\)はすべて分極\(P\)によっておこるものなので、球に生じるすべての分極を足しあげればよいことがわかります。
よって球の面に垂直な方向\(P\cos\theta\)だけ計算し、分極と同じ方向だけ取り出します。
(球の面に沿った方向の分極\(P\sin\theta\)は球の対称性から0になります。)
\begin{eqnarray}
E &=& \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a^2}\underbrace{\cos\theta}_{ 分極と同じ方向} \\
&=& \int \frac{\sigma dS}{4\pi \epsilon_0 a^2}\cos\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi} \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{(P\cos\theta)(2\pi a\sin\theta ad\theta)}{a^2}\cos\theta (dS = 2\pi a\sin\theta ad\theta )\\
&=& -\frac{P}{2\pi \epsilon_0}\int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta d\theta\\
&=& \frac{P}{3\epsilon_0}
\end{eqnarray}
となります。
これが球の中心における分極方向の電場になります！
参考
今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。
