今回はデルタ関数ポテンシャルの束縛状態を求めたいと思います。
「デルタ関数ポテンシャル」とは文字通りデルタ関数の形をしたポテンシャルのことです。
そんなポテンシャルがあったときに束縛状態はどのようになるのか計算してみましょう。
問題設定
\(V(x) = \alpha\delta(x)\)を考える。
1. エネルギー固有関数に対するシュレディンガー方程式を\(x=\pm \epsilon\)の範囲で定積分し、\(\epsilon \to 0\)と取ることで\(\phi\)が\(x=0\)で満たすべき境界条件を求めよ。
2. \(\alpha = -a\)(< 0)の場合束縛状態を求めよ。
解法
第一問
エネルギー固有関数に対するシュレディンガー方程式は $$ E\phi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \alpha\delta(x)\phi \tag{1} $$ なのでこれを\(-\epsilon \to \epsilon\)まで両辺積分すると、
$$ \begin{eqnarray} \int _{-\epsilon}^{\epsilon}dx\;E\phi &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\int _{-\epsilon}^{\epsilon} dx\;\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \int _{-\epsilon}^{\epsilon}dx\;\alpha\delta(x)\phi \\ E\int _{-\epsilon}^{\epsilon}dx\;\phi &=& -\frac{\hbar^2}{2m}[\phi'(\epsilon)-\phi'(-\epsilon)] + \alpha\phi(0)\int _{-\epsilon}^{\epsilon}dx\;\delta(x) \end{eqnarray} $$
ここで\(\epsilon \to 0\)の極限を取ると、
$$ E \times 0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\lim_{\epsilon \to 0}[\phi'(\epsilon)-\phi'(-\epsilon)] + \alpha\phi(0) \underbrace{\int _{-\epsilon}^{\epsilon}dx\;\delta(x)}_{1} $$
よって $$ \lim_{\epsilon \to 0}[\phi'(\epsilon)-\phi'(-\epsilon)] = \frac{2m\alpha}{\hbar^2}\phi(0)\tag{2} $$ これが境界条件となる。
第二問
まず、\(x > 0\)の場合を考えると、\(\alpha\delta(x)\phi = 0\)となる。よって、(1)式を解くと、
$$ \phi = Ae^{-\kappa x} \left(ただし、\kappa = \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^2}},\;\;\;Aは定数\right) $$ となる。
次に\(x < 0\)の場合を考えると、\(\phi\)が奇関数のときと偶関数のときに分けて考える。
\(\phi\)が奇関数のとき
\(\phi\)が奇関数のときグラフは\(x = 0\)で不連続になるので不適
\(\phi\)が偶関数のとき
\(\phi\)が偶関数のときは\(x = 0\)で連続なので問題に適する。このとき、\(\phi = Ae^{\kappa x}\)となる。
固有エネルギー
(2)式より、 $$ \lim_{\epsilon \to 0}\left[-\kappa Ae^{-\kappa \epsilon} – \kappa Ae^{\kappa (-\epsilon)}\right] = -\frac{2ma}{\hbar^2}A $$
$$ \begin{eqnarray} -2\kappa A &=& -\frac{2ma}{\hbar^2}A \\ \kappa &=& \frac{ma}{\hbar^2} \end{eqnarray} $$
ここで\(\kappa = \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^2}}\)より、 $$ \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^2}} = \frac{ma}{\hbar^2} $$
よって、\(E\)を求めると、 $$ E = -\frac{ma^2}{2\hbar^2} $$ となる。
波動関数
\(x > 0\)と\(x<0\)の波動関数を合わせて書くと、\(\phi = Ae^{-\kappa|x|}\)となり、規格化すると、
$$ 1 = \int_{-\infty}^{\infty} dx\;|\phi|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} dx\; |A|^2e^{-2\kappa|x|} = 2|A|^2\int_{0}^{\infty} dx\; e^{-2\kappa x} = \frac{|A|^2}{\kappa} $$
よって、$$A = \sqrt{\kappa}$$
よって波動関数は$$\phi = \sqrt{\kappa} e^{-\kappa|x|}$$となる。
