【力学】棒をつるした糸を切った直後の運動を求めてみた

物理

今回は「棒をつるした糸を切った直後の糸と棒の角速度」を求めていきたいと思います。

このような運動を初期運動といって初期の変位や速度が微小量であることを利用します。

少し複雑に見えますが一つ一つやっていきましょう。

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棒をつるした糸を切った直後の運動

以下ような場合を考えます。

質量\(m\)長さ\(2a\)の棒が長さ\(l\)の日本でつるされていて、水平と糸のなす角度を\(\alpha\)とします。

片方の糸を切断した後につり合いの位置と糸のなす角度を\(\theta\)、棒のなす角度を\(\psi\)としたときの角速度\(\dot \theta,\dot \psi\)を求めます。

重心の運動方程式

では棒の重心についての運動方程式を立てます。

糸の張力を\(T\)とすると

$$
\begin{cases}
m\ddot x = T\cos(\alpha + \theta)\\
m\ddot y = mg-T\sin(\alpha + \theta – \psi)
\end{cases} \tag{1}
$$

となります。

こちらは簡単ですね。

重心まわりの回転の方程式

重心まわりの回転の方程式を立てます。

実際には糸と棒の接続している部分が軸となって回転していますが、重心を軸(重心が止まっている)と考えることで重心まわりの回転の方程式を立てることができます。

重心まわりの慣性モーメントを\(I\)とすると、棒は重心まわりに\(\psi\)で回転しているので

\begin{eqnarray}
I\ddot \psi = Ta\sin(\alpha + \theta – \psi)\tag{2}
\end{eqnarray}

となります。

近似する

さて(1),(2)式を使って角速度を求めていきたいのですが、\(\theta,\psi\)など変数が多く、さばききれません。

なので、これを直接解くのをあきらめて、\(\theta,\psi\)が微小量であることを利用し近似を行っていきます。

\(x,y\)はそれぞれ

\begin{eqnarray}
x&=&l\cos(\alpha + \theta) + a\cos\psi \\
&=& l(\cos\alpha\cos\theta – \sin\alpha\sin\theta) + a\cos\psi
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
y &=& l\sin(\alpha + \theta) + \alpha\sin\psi\\
&=& l(\sin\alpha\cos\theta +\cos\alpha\sin\theta) + \alpha\sin\psi
\end{eqnarray}

と表されます。

$$
\begin{cases}
\sin\theta \sim \theta\\
\sin\psi \sim \psi\\
\cos\theta \sim 1\\
\cos\psi \sim 1
\end{cases}
$$

と近似すると\(x,y\)はそれぞれ、

$$
x = l(\cos\alpha – \sin\alpha \theta) + \alpha
$$

$$
y = l(\sin\alpha + \cos\alpha \theta) + \alpha \psi
$$

となります。

さらにこれらを微分すると

$$
\ddot x = -l\sin\alpha \ddot \theta\tag{3}
$$

$$
\ddot y = l\cos\alpha\ddot\theta + \alpha \ddot\psi\tag{4}
$$

となります。

計算

では(1),(2)式に(3),(4)式を代入し、計算をすすめましょう。

(1)式で

$$
\cos(\alpha + \theta) \sim \cos\alpha
$$

$$
\sin(\alpha + \theta ) \sim \sin\alpha
$$

(2)式で

$$
\sin(\alpha + \theta – \psi ) \sim \sin\alpha
$$

とおくと

$$
-ml\sin\alpha\ddot\theta = T\cos\alpha (x方向の運動方程式)
$$

$$
m(l\cos\alpha \ddot\theta + a\ddot \psi) = mg-T\sin\alpha (y方向の運動方程式)
$$

さらに棒の重心まわりの慣性モーメント\(I = \frac{1}{3}ma^2\)から

$$
\frac{1}{3}ma^2\ddot\psi = Ta\sin\alpha (回転の運動方程式)
$$

の3つが求まります。

これらから

$$
T = \frac{\sin\alpha}{1+3\sin^2\alpha}mg
$$

が求まるため、糸と棒の角速度はそれぞれ

$$
\ddot \theta = -\frac{g\cos\alpha}{l(1+3\sin^2\alpha)}
$$

$$
\ddot \psi = \frac{3g\sin^2\alpha}{a(1+3\sin^2\alpha)}
$$

となります。

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