【電磁気】円筒コンデンサーに電流を流したときの抵抗値を求めてみた!

物理

今回は「円筒コンデンサーに電流を流したときの抵抗値」を求めていきたいと思います。

電気伝導率が\(\sigma\)の物質を円筒に敷き詰め、そこに電流を流していきます。

そのときの単位長さあたりの抵抗値

$$
R = \frac{1}{2\pi\sigma}\log \frac{b}{a}
$$

を求めていきます。

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円筒コンデンサーに電流を流したときの抵抗値

内側の半径\(a\),外側の半径\(b\)の円筒コンデンサーを考えます。

そしてその間に電気伝導度\(\sigma\)の物質を詰め、内側から電流\(I\)を流します。

このコンデンサーの長さは単位当たりのものを考えるので\(1\)とします。

方針

この問題を解くための方針は

  1. 電場の大きさ\(E\)を求める
  2. 電流密度 \(j = \sigma E\)をもとめ、積分することで\(I\)の値を求める
  3. 電位差を電場\(E\)から求める
  4. 2.3から、\(R\)を求める

という形でやっていきます。

電場の大きさを求める

ではガウスの法則より、電場の大きさを求めていきます。

コンデンサーに単位長さ当たり\(\lambda\)の電荷がたまっているとして、

半径\(r\)の円柱を考えると、\(a < r < b\)の電場は

$$
\int E dS = \frac{\lambda}{\epsilon_0}
$$

$$
E = \frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_0}
$$

となります。

電流\(I\)の値を求める

電場\(E\)と電流密度\(j\)の間には

$$
j = \sigma E
$$

の関係があるので、これを面積分することによって電流の大きさ\(I\)が求まります。

(電流密度ですが体積積分ではありません。電流が貫いている面積\(2\pi r \times 1\)で積分します。)

\begin{eqnarray}
I &=& \int_{S}\sigma E dS\\
&=& \sigma \frac{\lambda}{\epsilon_0}
\end{eqnarray}

となります。

電位差を求める

\(a < r < b\)の電位差を求めます。

$$
E = \frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_0}
$$

を積分すると

\begin{eqnarray}
V &=& -\int_{b}^{a} E dS\\
&=& \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \log \frac{b}{a}
\end{eqnarray}

となります。

\(V = RI\)から抵抗を求める

最後にオームの法則\(V = RI\)から抵抗値を求めます。

\begin{eqnarray}
R &=& \frac{V}{I}\\
&=& \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \log \frac{b}{a} \frac{\epsilon_0} { \sigma \lambda} \\
&=& \frac{1}{2\pi\sigma}\log \frac{b}{a}
\end{eqnarray}

となります。

これが 円筒コンデンサーに電流を流したときの抵抗値 になります。

参考

今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。

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