【電磁気】円筒同軸コンデンサーに生じる力を求めてみた

今回は「円筒同軸コンデンサーに生じる力」について解説したいと思います。

外側の筒に生じる力$F$は

$$
F = \frac{\lambda^2 (\epsilon_1 – \epsilon_2)}{\pi^2(\epsilon_1 + \epsilon_2)^2 b}
$$

となります。

円筒のコンデンサーは平行板コンデンサーと違い、慣れないと少し難しいのでしっかりと練習しましょう。

円筒同軸コンデンサー
参考

円筒同軸コンデンサー

内半径$a$,外半径$b$の円筒同軸コンデンサーの間に以下の図のように誘電率$\epsilon_1$,$\epsilon_2$を敷き詰め、外の筒を接地します。

このときに内側の筒に単位長さ当たり$\lambda$の電荷を与えるときに、外筒に生じる力を求めます。

このコンデンサーは並列

このコンデンサーを$\epsilon_1$の領域と（領域1）$\epsilon_2$の領域（領域2）に分けると、これらは別々のコンデンサーとみなすことができます。

さらにこれらのコンデンサーは並列であることが分かります。

なぜならば二つのコンデンサーに生じる電圧は同じだからです。（外側の筒が接地されているので、電圧は同じにならざるを得ないため）

外筒の表面電荷

電束密度

電圧が同じなら、電場$E$も同じ（どちらも$E(b-a) = V$で決まるため）なので領域１、領域２の電束密度を$D_1,D_2$とおくと

$$
\begin{cases}
D_1 = \epsilon_1 E\\
D_2 = \epsilon_2 E
\end{cases}\tag{1}
$$

となります。

電荷

外側の筒に生じる電荷の合計は、内側の筒に与えた電荷量と同じになるはずなので外側の電荷密度をそれぞれ$\sigma_1,\sigma_2$とすると

$$
\lambda l= \sigma_1 \pi b l + \sigma_2 \pi b l
$$

$$
\lambda = (\sigma_1 + \sigma_2 )\pi b \tag{2}
$$

となります。

ガウスの法則

さらに外側の筒にガウスの法則を使うと

$$
\begin{cases}
D_1 = \sigma_1\\
D_2 = \sigma_2
\end{cases}\tag{3}
$$

となります。

計算

(1)~(3)式からこれらを代入して計算していくと

$$
E = \frac{\lambda}{(\epsilon_1 + \epsilon_2)\pi b}
$$

$$
\begin{cases}
\sigma_1 = \frac{\lambda \epsilon_1}{(\epsilon_1 + \epsilon_2)\pi b}\\
\sigma_2 = \frac{\lambda \epsilon_2}{(\epsilon_1 + \epsilon_2)\pi b}
\end{cases}\tag{4}
$$

となります。

力の計算

あとは単位面積あたりのコンデンサーに生じる力の式

$$
df = \frac{\sigma^2}{2\epsilon}dS
$$

に入れて計算していくだけです。やっていきましょう。

領域１に作用する力

領域１と領域2で作用する力の大きさが違うので注意してやっていきます。

図のように$\theta$を取ると領域１の面積で積分したとき、作用する力の$\cos\theta$方向だけ残ることが分かります。

（$\sin\theta$方向の力は領域１に作用する力をすべて足し合わせると打ち消し合って消えます。）

よって$\cos\theta$方向のみの力を積分して足し合わせます。

\begin{eqnarray}
F_1 &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sigma_1}{2\epsilon_1}\cos\theta dS\\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sigma_1}{2\epsilon_1}\cos\theta b d\theta \\
&=& \frac{\lambda^2 \epsilon_1}{\pi^2(\epsilon_1 +\epsilon_2)^2 b} \tag{5}
\end{eqnarray}