今回は「接地したコンデンサーから受ける力」について解説したいと思います。
接地した平行板コンデンサーの間に導体板を差し込んだときに受ける力を計算したいと思います。
接地したコンデンサーから受ける力
面積\(S\),間隔\(d\)の平行板コンデンサーの両極を接地し、距離\(d_1\)のところに厚さ\(t\)の導体板を平行に入れます。
この導体板に電荷\(Q\)を与えたとき、受ける力を計算します。
静電エネルギー
長さ\(d_1\)の領域(領域1)と、長さ\(l (= d – d_1 – t)\)の領域(領域２)はそれぞれ別々のコンデンサーとみなすことができます。
よってそれぞれの静電エネルギー\(U\)を求めます。
静電エネルギーが求まれば
$$
F = -\frac{\partial U}{\partial x}
$$
から作用する力を求めることができます。
また、領域１の電荷量を\(Q_1\),領域２の電荷量を\(Q_2\)とすると
$$
Q = Q_1 + Q_2
$$
が成り立つとします。
領域1の静電エネルギーと力
領域1の電気容量\(C_1\)は
$$
C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d_1}
$$
なので
静電エネルギーは
\begin{eqnarray}
U_1 &=& \frac{1}{2}\frac{Q_1^2}{C_1}\\
&=& \frac{Q_1^2d_1}{2\epsilon_0 S}
\end{eqnarray}
となります。
よって、導体板に作用する力の大きさは
\begin{eqnarray}
F_1 &=& -\frac{\partial U_1}{\partial d_1}\\
&=& – \frac{Q_1^2}{2\epsilon_0 S}
\end{eqnarray}
となります。
領域２の静電エネルギーと力
領域２の電気容量\(C_２\)は
$$
C_２ = \frac{\epsilon_0 S}{l} (l = d – d_1 – t )
$$
なので
静電エネルギーは
\begin{eqnarray}
U_2 &=& \frac{1}{2}\frac{Q_2^2}{C_2}\\
&=& \frac{Q_2^2l}{2\epsilon_0 S}\\
&=& \frac{Q_2^2( d – d_1 – t )}{2\epsilon_0 S}
\end{eqnarray}
となります。
よって、導体板に作用する力の大きさは
\begin{eqnarray}
F_2&=& -\frac{\partial U_2}{\partial d_1}\\
&=& \frac{Q_2^2}{2\epsilon_0 S}
\end{eqnarray}
となります。
導体板に作用する力
よって導体板に作用する力は
\begin{eqnarray}
F &=& F_1 + F_2\\
&=& – \frac{Q_1^2}{2\epsilon_0 S} + \frac{Q_2^2}{2\epsilon_0 S} \tag{1}
\end{eqnarray}
となります。
平行板コンデンサーは接地していたので
$$
V = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}
$$
が成り立ち
$$
Q = Q_1 + Q_2
$$
の条件から
$$
Q_1 = \frac{l}{l + d_1}Q
$$
$$
Q_2 = \frac{d_1}{l+d_1}Q
$$
となります。
これらを(1)式に代入すると
\begin{eqnarray}
F &=& – \frac{Q_1^2}{2\epsilon_0 S} + \frac{Q_2^2}{2\epsilon_0 S} \\
&=& \frac{Q^2}{2\epsilon_0 S}\left(\frac{-l^2 + d_1^2}{(d-t)^2}\right) \\
&=& \frac{Q^2 \{2d_1 -(d-t)\}}{2\epsilon_0 S(d-t)}
\end{eqnarray}
となります。
参考
今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。
