【物理数学】原点に特異点のある複素積分

今回は原点にある特異点を避けて複素積分しなくてはいけない場合を解説します。

この記事では扇形の経路を取りました。

今回は同様に経路を取ると特異点を経路上に含んでしまう場合を考えていきたいと思います。

無限積分の例
解法

無限積分の例

今回は

$$
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx\tag{1}
$$

の値を求めていきたいと思います。

解法

複素関数

(1)式の値を求めるために

$$
f(z) = \frac{e^{iz}}{z}\tag{2}
$$

を考えます。

経路

(2)式の特異点は$z=0$で原点にあります。

なので経路を以下のように取ります。

このとき、$0<\epsilon<r$となっています。

また、経路の内側には特異点が存在しないため

$$
\int_{C}f(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz+ \int_{C_2}f(z)dz+ \int_{C_r}f(z)dz+ \int_{C_\epsilon}f(z)dz=0\tag{3}
$$

となります。

$C_1,　C_2$の積分

$\int_{C_1}f(z)dz+ \int_{C_2}f(z)dz$の$r\to\infty$と$\epsilon \to 0$の極限を考えます。

$$
\begin{eqnarray}
\lim_{r\to \infty\\\epsilon \to 0}\left( \int_{C_1}f(z)dz+ \int_{C_2}f(z)dz \right)&=& \lim_{r\to \infty\\\epsilon \to 0}\left( \int_{-r}^{-\epsilon}f(z)dz+ \int_{\epsilon}^{r}f(z)dz \right)\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty} f(z)dz\tag{4}
\end{eqnarray}
$$

となります。

弧$C_r$の積分

$\int_{C_r}f(z)dz$の絶対値を考え、$z=re^{i\theta}$と変数変換すると、

$$
\begin{eqnarray}
\left| \int_{C_r}f(z)dz \right| &=& \left| \int_{0}^{\pi}\frac{e^{ire^{i\theta}}}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta \right|\\
&=& \left| \int_{0}^{\pi}e^{ir(\cos\theta + i\sin\theta)}d\theta \right|\\
&=& \left| \int_{0}^{\pi}e^{ir\cos\theta} e^{-r\sin\theta}d\theta \right|\\
&\leq& \int_{0}^{\pi}e^{-r\sin\theta}d\theta\\
&\lt& \frac{\pi}{r}\\
&\sim& O\left(\frac{1}{r}\right)
\end{eqnarray}
$$

より、

$$
\lim_{r\to\infty} \int_{C_r}f(z)dz = 0\tag{5}
$$

となります。

弧$C_\epsilon$の積分

最後に$ \int_{C_\epsilon}f(z)dz $の値を求めていきます。

$z=\epsilon e^{i\theta}$と変数変換して

$$
\int_{C_\epsilon}\frac{e^{iz}}{z}dz = \int_{\pi}^{0}\frac{e^{i\epsilon e^{i\theta}}}{\epsilon e^{i\theta}} \epsilon i e^{i\theta} d\theta= -i\int_{0}^{\pi} e^{i\epsilon e^{i\theta}} d\theta
$$

ここで$\epsilon \to 0$の極限を取ると

$$
\lim_{\epsilon \to 0} \int_{C_\epsilon}f(z)dz = -i\int_{0}^{\pi} e^{i\epsilon e^{i\theta}} d\theta = -\pi i\tag{6}
$$

となります。