【統計】$\chi^2$分布について解説してみた！！

こんにちは

今回は「$\chi^2$分布」について解説したいと思います。

$\chi^2$分布とは

$\chi^2$分布とは

$\chi^2$分布は色々な特徴のある分布ですが、一番の特徴は「標本分散の従う分布」であるということだと思います。なので標本分散から母分散を推定をする際に使います。

これだけだと意味が伝わらないと思うので以下でしっかり解説していきます。

$\chi^2$値

$\chi^2$分布の前に$\chi^2$について解説したいと思います。$\chi^2$値は

$$
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}　(nは標本の数, 不偏分散s^2, 母分散\sigma^2)
$$

で定義され、この$\chi^2$が従う分布を自由度$n-1$の$\chi^2$分布と呼びます。

このように$\chi^2$が$s^2$で表されるので、結果として$s^2$も$\chi^2$分布に従います。

$\chi^2$分布の使用例

ポテトチップスを例に、母分散を推定してみましょう。

あるポテトチップスには平均で50枚入っているとします。10袋調べたところ平均からのばらつき(標本標準偏差)が3枚であると計算できました。(つまり一袋あたり50$\pm$3枚くらい入ってた)
そのポテチの会社(コイケヤ？)のHPに行ってみると一袋に入っているポテチ枚数のばらつきは1枚であることが分かりました(おそらく1000袋とか調べてると思うので母標準偏差とみなせます)。
ではこのとき、「ばらつき(標準偏差)が10枚である」は母標準偏差の推定量として適格でしょうか？

※この話はフィクションです。

「推定量として適格」とは、例えば、明らかにポテチが多く入っている袋ばかり調べて分散を求めていないか？ということです。