【極座標】遠心力と万有引力

今回は極座標においての遠心力と万有引力の表し方について解説していきたいと思います。

高校のときに同じような問題は解きましたが、極座標表示を用いて解くのは初めてで、いろいろつまずいてしまったので、ここにメモしておきます。

問題設定

図のように原点に質量 \(M\)を持つ物体1を置き、この物体1を中心として半径\(r_0\) の円盤を設置する。この円盤平面に垂直な軸を\(z\)軸とし、円盤平面内に動径座標\(r\)を取る。 長さ\(l\)の棒を円盤の縁の1点に取りつける。この棒に質量\(m\)の物体2を通し、一定の角速度\(\omega\)で回転させる。\(\omega\)は、物体2が棒の根元にあるときに中心物体1が物体2に及ぼす重力と、 回転による遠心力がつり合うように調整されている。また\(m\ll M\)であり、物体2は原点にある物体1からのみ重力を受けるものとする。

解法

\(\omega\)を求める

ではまず、\(\omega\)を求めてみましょう。

\(\omega\)は物体1と物体2の重力と遠心力が釣り合うように調整されているので

$$ \frac{GmM}{r_0^2} = mr_0\omega^2 $$ すなわち、 $$ \omega = \sqrt{\frac{GM}{r_0^3}}\tag{1} $$ となります。

運動方程式

物体2を少しだけ外向きに動かしたとき、物体2は外向きに動きます。（重力が弱くなり、遠心力が強くなるため）

このとき、物体2の動径方向の運動方程式を考えます。

動径方向の加速度は極座標を用いると $$ a_r = {\ddot r}-r{\dot \theta}^2 $$ となります。

また、 $$ {\dot \theta} = \omega $$ です。

これらを用いて運動方程式を立てると、 $$ m({\ddot r}-r\omega^2) = -\frac{GmM}{r^2}\tag{2} $$ となります。

力学的エネルギー

\({\dot r}\)を両辺にかけて時間で積分すると、

$$ \int dt\;m{\dot r}{\ddot r} -\int dt\;m{\dot r}r\omega^2 = -\int dt\;\frac{GmM}{r^2} + E\;\;\;(Eは積分定数) $$ すなわち $$ \frac{1}{2}m{\dot r}^2 -\frac{1}{2}mr^2\omega^2 -\frac{GmM}{r} = E $$ が成り立ちます。これはエネルギー保存則を示しています。

動径方向の速さ

エネルギー保存則が求まったので次は物体2の動径方向の速さを求めたいと思います。

物体2が棒の根元(\(r = r_0\))にあるとき、動径方向の速度は0なので $$ \frac{1}{2}m{\dot r}^2 -\frac{1}{2}mr^2\omega^2 -\frac{GmM}{r}　= \underbrace{-\frac{GmM}{r_0}}_{r=r_0にあるときの力学的エネルギー} $$

これを変形すると $$ \dot r = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) + \omega^2r^2} $$

飛び出した後の全エネルギー

次は物体2が棒の先端から飛び出した後の全エネルギー\(E_{全}\)を求めたいと思います。

\(E_{全}\)は棒から離れた後なので、回転のエネルギーは考えなくていいです。

$$ E_{全}= \underbrace{\frac{1}{2}m\left(2GM\left(\frac{1}{r_0+l}-\frac{1}{r_0}\right) + \omega^2(r_0+l)^2\right)}_{棒の先端でのエネルギー}\underbrace{-\frac{GmM}{r_0+l}}_{先端での位置エネルギー} $$

より、 $$ E_{全}=-\frac{GmM}{r_0} + \frac{1}{2}m\omega^2(r_0+l)^2 $$

無限遠に到達するには

物体2が無限遠に到達するには $$ E_{全} \geq 0 $$ ならばいいので

そのときの\(l\)の条件は $$ (E_{全}=)-\frac{GmM}{r_0} + \frac{1}{2}m\omega^2(r_0+l)^2\geq 0 $$ $$ (r_0 + l)^2\geq \frac{2GM}{r_0\omega^2} $$ $$ l \geq \sqrt{2}r_0-r_0 $$