【熱力学】カルノーサイクルの熱効率を導出してみた！！

今回は「カルノーサイクルの熱効率」を求めていきたいと思います。

カルノーサイクルとは断熱過程と等温過程で囲まれたサイクルです。

断熱過程を扱うので、「【熱力学】熱力学第一法則からポアソンの法則を導出！！」で導出したポアソンの法則

$$
TV^{\gamma -1} = 一定\tag{1}
$$

を使っていきます。

カルノーサイクルの熱効率

図

上の図のような理想気体のサイクルを考えます。

赤線が断熱過程で黒線が等温過程です。

方針

この問題を解いていく方針を示しておきます。

熱効率は

$$
\eta_C = \frac{W_{外部へした仕事}}{Q_{外部から受け取った熱量}}
$$

で表されるので、これらを各々の過程で求めていきます。

\(V_1 \to V_2\)の過程

\(V_1 \to V_2\)の過程は等温過程なので\(dU = 0\)となります。

よって、熱力学第一法則から、

$$
0 = dQ + dW
$$

となります。

よって、この過程で得られた熱量\(Q_1\)と理想気体のした仕事\(W_1\)は

$$
Q_1 = -W_1 = \int_{V_1}^{V_2} p dV = nRT_1\log\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\tag{2}
$$

となります。

この過程では気体の体積を大きくしているが温度は一定なので、熱を吸収していることが分かります。（なにもしない場合、気体の体積を大きくすると温度は下がってしまうため）

よって\(Q_1>0\)となります。

\(V_2\to V_3\)の過程

\(V_2 \to V_3\)の過程は断熱過程なので、\(dQ = 0\)となり、熱力学第一法則より

$$
dU = 0 + dW
$$

となります。

よって、外にした仕事は

$$
-W_2 = U(T_1)-U(T_2)\tag{3}
$$

また、断熱過程なのでポアソンの法則を使って

$$
T_1V_2^{\gamma -1} = T_2V_3^{\gamma -1}
$$

が成り立ちます。

よって、

$$
V_2 = V_3\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma -1}} \tag{4}
$$

となります。

\(V_3\to V_4\)の過程

\(V_2\to V_3\)の過程は等温過程なので\(dU = 0\)となるので

$$
0 = dQ + dW
$$

よって、

$$
Q_3 = -W_3 = \int_{V_3}^{V_4} p dV = nRT_2\log\left(\frac{V_4}{V_3}\right)\tag{5}
$$

となります。

この過程では気体の体積を小さくしているが温度は一定なので、熱を排出していることが分かります。（なにもしない場合、気体の体積を小さくすると温度は上がるため）

よって\(Q_3<0\)となります。

\(V_4\to V_1\)の過程

\(V_4 \to V_1\)の過程は断熱過程なので、\(dQ = 0\)となり、熱力学第一法則より

$$
dU = 0 + dW
$$

となります。

よって、外にした仕事は

$$
-W_4 = U(T_2)-U(T_1)\tag{6}
$$

また、断熱過程なのでポアソンの法則を使って

$$
T_2V_4^{\gamma -1} = T_1V_1^{\gamma -1}
$$

が成り立ちます。

よって、

$$
V_1 = V_4\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma -1}} \tag{7}
$$

となります。

熱効率\(\eta_C\)

熱効率は

$$
\eta_C = \frac{W_{外部へした仕事}}{Q_{外部から受け取った熱量}}
$$

だったのでこれに代入していきます。

分母の\(Q_{外部から吸収した熱量} \)は(2)だけということに注意すると

$$
\begin{eqnarray}
\eta_C &=& \frac{ nRT_1\log\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + U(T_1)-U(T_2) + nRT_2\log\left(\frac{V_4}{V_3}\right) + U(T_2) – U(T_1)}{ nRT_1\log\left(\frac{V_2}{V_1}\right) }\\
&=& \frac{ T_1\log\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + T_2\log\left(\frac{V_4}{V_3}\right) }{ T_1\log\left(\frac{V_2}{V_1}\right) }\\
\end{eqnarray}
$$

ここで、(4),(7)式より

$$
\frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4}
$$

なので、

$$
\begin{eqnarray}
\eta_C &=& \frac{ T_1\log\left(\frac{V_3}{V_4}\right) – T_2\log\left(\frac{V_3}{V_4}\right) }{ T_1\log\left(\frac{V_3}{V_4}\right) } \\
&=& \frac{T_1 – T_2}{T_1}\\
&=& 1 – \frac{T_2}{T_1}
\end{eqnarray}
$$

よって熱効率は

$$
\eta_C = 1-\frac{T_2}{T_1}
$$

を導くことができました！！