【電磁気】2つの異なる誘電体における境界条件を求めてみた！

今回は「2つの異なる誘電体における境界条件」について解説したいと思います。

この境界では電場が誘電率の違いによって変化します。

結果からいうと

\begin{cases}
E_{1t} = E_{2t}　（電場の接線成分は境界の両側で等しい）\\
D_{1n} = D_{1n}　(電束密度の法線成分は境界の両側で等しい)
\end{cases}

が成り立ちます。

これを証明していきたいと思います。

2つの異なる誘電体における境界条件

誘電率\(\epsilon_1,\epsilon_2\)の異なる境界面に角度\(\theta_1\)で電場 \(E_1 \)、電束密度\(D_1\)が入射します。

入射した後、 角度\(\theta_2\)で電場 \(E_2 \)、電束密度\(D_2\) になったとき、この境界における境界条件を求めます。

「電場の接線成分は境界の両側で等しい 」の証明

ではまず、「 電場の接線成分は境界の両側で等しい 」の証明をしていきたいと思います。

まず、以下のように経路を取ります。

この経路上で周回積分

$$
\oint_C {\bf E \cdot dr} \tag{1}
$$

を行います。

電場の周回積分が０をマクスウェル方程式から導く

マクスウェル方程式（誘導電流の式）

$$
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
$$

の両辺を面積分すると

$$
\int_S \nabla \times {\bf E} \cdot d{\bf S} = -\int_S \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\cdot d{\bf S}
$$

$$
\int_C {\bf E} \cdot d{\bf r} = -\int_S \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\cdot d{\bf S}
$$

となります。

そして考える経路

の縦方向\(\Delta x\)を０の極限を取ると経路の面積\(S\)も０に近似できるので

$$
\int_C {\bf E} \cdot d{\bf r} = 0
$$

となります。

積分を実行する

誘電面に対して垂直な方向の距離(\(\Delta x\))は微小にとって考えなくてよいものとします。

誘電面に対して水平な方向の電場についてだけ(1)の積分を行うと

$$
\oint_C {\bf E \cdot dr} = E_{1t}l – E_{2t}l\tag{2}
$$

となります。

よって(2)式より

$$
\left(\oint_C {\bf E \cdot dr} =\right)0 = E_{1t}l – E_{2t}l
$$

$$
E_{1t} = E_{2t}\tag{3}
$$

が成り立ちます。

電束密度の法線成分は境界の両側で等しい

次に「 電束密度の法線成分は境界の両側で等しい 」の証明をしたいと思います。

まず、下のように底面積\(S\)の円柱の領域を考えます。

この領域に対してガウスの法則を当てはめると

$$
\int_{s} {\bf D \cdot dS} = 0　（境界上には真電荷が存在しないので右辺はゼロ）
$$

電束密度は円柱に対して垂直に出ているものとすると

$$
(D_{1n} – D_{2n})S = 0
$$

よって

$$
D_{1n} = D_{2n}\tag{4}
$$

が成り立ちます。

補足

ちなみに、電場と電束密度の間には

$$
D = \epsilon E　(\epsilon はその領域の誘電率)
$$

の関係があるので(4)式は

$$
\epsilon_1 E_{1n} = \epsilon_2 E_{2n}
$$

が言えます。

参考