今回は「2つの異なる誘電体における境界条件」について解説したいと思います。
この境界では電場が誘電率の違いによって変化します。
結果からいうと
\begin{cases}
E_{1t} = E_{2t} (電場の接線成分は境界の両側で等しい)\\
D_{1n} = D_{1n} (電束密度の法線成分は境界の両側で等しい)
\end{cases}
が成り立ちます。
これを証明していきたいと思います。
2つの異なる誘電体における境界条件
誘電率\(\epsilon_1,\epsilon_2\)の異なる境界面に角度\(\theta_1\)で電場 \(E_1 \)、電束密度\(D_1\)が入射します。
入射した後、 角度\(\theta_2\)で電場 \(E_2 \)、電束密度\(D_2\) になったとき、この境界における境界条件を求めます。

「電場の接線成分は境界の両側で等しい 」の証明
ではまず、「 電場の接線成分は境界の両側で等しい 」の証明をしていきたいと思います。
まず、以下のように経路を取ります。

この経路上で周回積分
$$
\oint_C {\bf E \cdot dr} \tag{1}
$$
を行います。
電場の周回積分が0をマクスウェル方程式から導く
マクスウェル方程式(誘導電流の式)
$$
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
$$
の両辺を面積分すると
$$
\int_S \nabla \times {\bf E} \cdot d{\bf S} = -\int_S \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\cdot d{\bf S}
$$
$$
\int_C {\bf E} \cdot d{\bf r} = -\int_S \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\cdot d{\bf S}
$$
となります。
そして考える経路

の縦方向\(\Delta x\)を0の極限を取ると経路の面積\(S\)も0に近似できるので
$$
\int_C {\bf E} \cdot d{\bf r} = 0
$$
となります。
積分を実行する
誘電面に対して垂直な方向の距離(\(\Delta x\))は微小にとって考えなくてよいものとします。
誘電面に対して水平な方向の電場についてだけ(1)の積分を行うと
$$
\oint_C {\bf E \cdot dr} = E_{1t}l – E_{2t}l\tag{2}
$$
となります。
よって(2)式より
$$
\left(\oint_C {\bf E \cdot dr} =\right)0 = E_{1t}l – E_{2t}l
$$
$$
E_{1t} = E_{2t}\tag{3}
$$
が成り立ちます。
電束密度の法線成分は境界の両側で等しい
次に「 電束密度の法線成分は境界の両側で等しい 」の証明をしたいと思います。
まず、下のように底面積\(S\)の円柱の領域を考えます。

この領域に対してガウスの法則を当てはめると
$$
\int_{s} {\bf D \cdot dS} = 0 (境界上には真電荷が存在しないので右辺はゼロ)
$$
電束密度は円柱に対して垂直に出ているものとすると
$$
(D_{1n} – D_{2n})S = 0
$$
よって
$$
D_{1n} = D_{2n}\tag{4}
$$
が成り立ちます。
補足
ちなみに、電場と電束密度の間には
$$
D = \epsilon E (\epsilon はその領域の誘電率)
$$
の関係があるので(4)式は
$$
\epsilon_1 E_{1n} = \epsilon_2 E_{2n}
$$
が言えます。
参考
今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。
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[…] (「電磁気】2つの異なる誘電体における境界条件を求めてみた!」を参考にしてください。) […]