ベータ関数は
$$ B(x,y) = \int_{0}^{1}dt\;t^{x-1}(1-t)^{y-1}\tag{1} $$
と定義されています。
今回はベータ関数について解説していきたいと思います。
\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)を示す
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\;\sin^n\theta\)をベータ関数で求める
ではまず、$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\;\sin^n\theta\tag{2} $$ をベータ関数で求めてみましょう。
置換積分
$$ \sin\theta = s $$
と置きます。
このとき $$ ds = \cos\theta d\theta $$
よって $$ d\theta = \frac{1}{\sqrt{1-s^2}}ds $$
さらに $$ \theta : 0 \to \frac{\pi}{2} $$ のとき $$ s : 0 \to 1 $$ なので
(2)式に代入して、 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n\theta\;d\theta= \int_{0}^{1}s^n(1-s^2)^{-\frac{1}{2}} ds\tag{3} $$ となります。
さらに置換
さらに $$ s^2 = k $$ とおくと
(3)式は $$ \frac{1}{2}\int_{0}^{1}k^\frac{n-1}{2}(1-k)^{-\frac{1}{2}} dk\tag{4} $$ となります。
ベータ関数で表す
ここで(1)式より(4)式をベータ関数で表すと $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\;\sin^n\theta = \frac{1}{2}B\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)\tag{5} $$ となります。
ベータ関数をガンマ関数で表す
ベータ関数は前回やったガンマ関数で書くことができます。
$$ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\tag{6} $$
となります。
(6)を用いて(5)を書くと、 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\;\sin^n\theta = \frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n+1}{2}+\frac{1}{2})}\tag{7} $$
ここでガンマ関数の性質 $$ \Gamma(n+1) = n! $$ を思い出すと
(7)式は $$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\left(\frac{n-1}{2}\frac{n-3}{2}\cdots\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})\right)\Gamma(\frac{1}{2})}{\frac{n}{2}\frac{n-2}{2}\cdots 2\cdot 1\Gamma(1)}=\frac{1}{2}\left[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2\frac{(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}\tag{8} \end{eqnarray} $$ となります。
(2)式をベータ関数を使わずに表記する
ここで(2)式をベータ関数を使わずに表すと $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\;\sin^n\theta = \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}\frac{\pi}{2}\tag{9} $$ となります。
証明終わり
よって(8)=(9)なので $$ \frac{1}{2}\left[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2\frac{(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}\frac{\pi}{2} $$ $$ \frac{1}{2}\left[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2 = \frac{\pi}{2} $$ よって
$$ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} $$ が成り立ちます。
